Partie B : une première amélioration du modèle

Dans cette partie seront étudiées deux améliorations du modèle.
Dans le modèle précédent, on supposait que la rumeur se propageait à chaque heure, comme si les personnes se passaient le message à des moments précis et espacés.
Mais, en réalité, la rumeur peut circuler en continu tout au long de la journée, sans attendre une heure pile. Pour modéliser cela plus précisément, on ne va plus utiliser une suite (qui ne donne une valeur qu’à des instants entiers), mais une fonction définie pour tout nombre réel positif \(t\), qui représente le temps écoulé en heures depuis 8 h 00 : le nombre d'heures \(t\) peut ne pas être entier.
Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(t\) positif par \(f(t)=2^t\).

1. Expliquer pourquoi cette fonction permet de modéliser la situation.
2. Calculer \(f(2{,}5)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice en expliquant le choix d'arrondi à effectuer.
3. Que permet de faire la fonction \(f\) de plus que la suite géométrique utilisée dans la partie A ?
4. Combien de nouveaux informés y aura-t-il à 12 h 15 ? Et à 15 h 45 ?

En langage mathématique, on dit qu'en utilisant une fonction au lieu d'une suite pour simuler une évolution, on effectue un passage du discret au continu.
5. Interpréter cette expression dans le cadre de l'exercice.